Bamberg, Univ., Diss., 2009

In der vorliegenden Arbeit werden die weit verbreiteten GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic)-Modelle aus Bayesianischer Sicht untersucht. GARCH-Modelle werden zur Modellierung und Prognose der Entwicklung von Finanzmarktdaten, wie beispielsweise Renditen im Zeitverlauf, verwendet. Die Schätzung der Modellparameter erfolgt meist mittels der Maximum-Likelihood (ML)-Methode bzw. der Quasi-Maximum-Likelihood (QML)-Methode. Diese Arbeit demonstriert anhand simulierter Datensätze, wie der Metropolis-Hastings-Algorithmus aus der Gruppe der Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC)-Methoden verwendet werden kann, um die a posteriori Verteilung der Modellparameter zu schätzen. Es werden ausführlich die notwendigen Spezifikationen behandelt, insbesondere die verwendeten a priori Verteilungen, Vorschlagsdichten sowie die Startwerte. Das asymptotische Verhalten der ML-Schätzer der GARCH-Parameter wird in unterschiedlichen Simulationsstudien untersucht und mit den Ergebnissen der a posteriori Verteilung aus der Bayes-Schätzung verglichen. Ferner werden verschiedene Erweiterungen des GARCH-Modells ebenfalls aus der Sicht eines Bayesianers betrachtet. Zu diesem Zweck werden an simulierten Daten aus EGARCH-, GJR-, AP-ARCH-, T-GARCH- und TS-GARCH-Modellen unterschiedliche Simulationen zur MCMC-Schätzung durchgeführt, wobei auch unterschiedliche Verteilungsannahmen berücksichtigt werden. Das beschriebene MCMC-Verfahren wird außerdem an zwei multivariaten GARCH-Modellen demonstriert. Die Wahl eines geeigneten Modells ist entscheidend für die Qualität der Modellierung und damit auch für die Prognose der Volatilität. Deswegen werden abschließend unter Verwendung realer Datensätze unterschiedliche Verfahren zur Modellselektion im Bayesianischen Kontext demonstriert. Es zeigt sich, dass viele Zeitreihen gar nicht lang genug sind, um den asymptotischen Verteilungen der typischerweise verwendeten ML-Schätzer Genüge zu leisten, so dass in vielen Fällen eine Bayesianische Analyse vorzuziehen ist.

In this work the commonly used GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic) models are considered from the Bayesian point of view. GARCH models are used to model and forecast the development of financial time series, for example returns. The parameters of these models are usually estimated with the Maximum-Likelihood (ML) method or the Quasi-Maximum-Likelihood (QML) method. This paper demonstrates how the Metropolis-Hastings-algorithm from the group of Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC) methods can be used to estimate the posterior distribution of the model parameters using simulated data. Necessary specifications are discussed especially prior distributions, proposal densities and starting values. The asymptotic properties of the ML estimators are examined in different simulation studies and compared to the results of the posterior distribution from the Bayesian estimation. Furthermore different extensions of the GARCH model are also considered using Bayes statistics. Therefore simulated data from EGARCH, GJR, AP-ARCH, T-GARCH and TS-GARCH models are used to conduct different simulations for the MCMC estimation, considering different distributions. The proposed method is also demonstrated for two multivariate GARCH models. Because identifying the correct model is crucial for the quality of modelling and hence for forecasting volatility, finally different methods of model selection are demonstrated using financial market data. It appears that many time series are not long enough to satisfy the asymptotic distributions of the commonly used ML estimators so that in many cases Bayesian analysis should be preferred.